Proposición: Sea w una forma diferencia exacta de grado uno. Se deja al lector generalizarlo o mostrar que no se puede para k-formas, porque el caso que me interesa es el de formas de Pfaff.
w := f(x,y,z,...,t)dx + g(x,y,z,...,t)dy + h(x,y,z,...,t)dz + ... + k(x,y,z,...,t)dt, por comodidad w = fdx + gdy + hdz + ... + kdt, pero recordando siempre que f, g, h, ...., k son funciones.Entonces si n := ∫ f(x,y,z,...,t)dx, w-dn no tiene términos en x. En concreto, w se mantiene igual pero desaparece f(x,y,z,...,t)dx y cualquier término de g, h,..., k que contenga una x.
Demostración:
dn := [∂n/∂x]dx + [∂n/∂y]dy + [∂n/∂z]dz +...+ [∂n/∂t]dt
En concreto, ∂n/∂x = f, y [∂n/∂x]dx = fdx, por lo que al restar w - dn, el término fdx desaparece de la faz de la forma.
El término [∂n/∂y] = ∂[ ∫ fdx ] / ∂y. Pero como w es exacta, es cerrada, y ∂f/∂y = ∂g/∂x (!). Entonces, aplicando la regla de la integral de Leibniz [2], que yo aprendí como el Truco de Feynman, y cuya demostración rigurosa me moló muchísimo en su momento,
[∂n/∂y]= ∂[ ∫ fdx ] / ∂y = ∫ [ ∂f/∂y ] dx = ∫ [ ∂g/∂x ] dx, que son precisamente los términos de g que tienen a x en ningún sitio, de tal forma que al restar w-dn, desaparecen. Ídem de lienzo para las demás funciones: g, h, ..., k. Vale.
[1] Véanse:
- http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/jgonzalo/AM/Cap-6-2017-11.pdf
- https://web.archive.org/web/20171231193047/http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/jgonzalo/AM/Cap-6-2017-11.pdf
[2] Véanse:
- https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule
- https://web.williams.edu/Mathematics/lg5/Feynman.pdf
- https://web.archive.org/web/20171227180427/https://web.williams.edu/Mathematics/lg5/Feynman.pdf
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